Kalkulus Contoh

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\sec (2 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Langkah 1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Langkah 1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Langkah 1.4

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Langkah 1.5

Faktorkan $\cos (2 x)$ dari $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Langkah 1.6

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Langkah 1.7

Konversikan dari $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ ke $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Langkah 1.8

Gabungkan $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ dan $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Langkah 1.9

Faktorkan $\cos (2 x)$ dari $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Langkah 1.10

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Langkah 1.11

Tulis kembali $\tan (2 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Langkah 1.12

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ sebagai hasil kali.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Langkah 1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Konversikan dari $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ ke $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Langkah 1.13.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.14

Kalikan $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1

Gabungkan $\tan (2 x)$ dan $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Langkah 1.14.2

Gabungkan $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ dan $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Langkah 1.15

Faktorkan $\cos (2 x)$ dari $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Langkah 1.16

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Langkah 1.17

Tulis kembali $\tan (2 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Langkah 1.18

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ sebagai hasil kali.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Langkah 1.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.19.1

Konversikan dari $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ ke $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Langkah 1.19.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.20

Faktorkan $\cos (2 x)$ dari $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.21

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.22

Tulis kembali $\sec (2 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.23

Tulis kembali $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ sebagai hasil kali.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.24.1

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24.3

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24.4

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.24.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Langkah 1.25

Kalikan $\sec^{2} (2 x)$ dengan $\sec (2 x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.25.1

Pindahkan $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Langkah 1.25.2

Kalikan $\sec (2 x)$ dengan $\sec^{2} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.25.2.1

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Langkah 1.25.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Langkah 1.25.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Langkah 1.26

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Langkah 1.27

Kalikan $\sec (2 x)$ dengan $\sec^{3} (2 x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.27.1

Kalikan $\sec (2 x)$ dengan $\sec^{3} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.27.1.1

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Langkah 1.27.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Langkah 1.27.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = \sec (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = \sec (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\sec (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Langkah 2.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Gabungkan ${u_{2}}^{3}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$