Kalkulus Contoh

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{x}{6}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{6} d x$ sehingga $6 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{x}{6}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Langkah 1.3

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Langkah 3

Karena $6$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Langkah 4

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cot^{2} (u)$ sebagai $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Langkah 7

Karena turunan dari $- \cot (u)$ adalah $\csc^{2} (u)$ , maka integral dari $\csc^{2} (u)$ adalah $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 8

Gabungkan $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ dan $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 9

Evaluasi $- u - \cot (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{6})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Langkah 10.4

Tambahkan $- \frac{π}{2}$ dan $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Langkah 10.5

Untuk menuliskan $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 10.6

Gabungkan $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Langkah 10.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Langkah 10.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Langkah 10.9

Gabungkan $6$ dan $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Langkah 10.10

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1

Faktorkan $2$ dari $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Langkah 10.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Langkah 10.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Langkah 10.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Langkah 10.10.2.4

Bagilah $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ dengan $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.2.3

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Langkah 11.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.5

Kalikan $- - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.5.2

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.6

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.7

Gabungkan $- π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.10

Tambahkan $- 3 π$ dan $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Langkah 11.12

Terapkan sifat distributif.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Langkah 11.13

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 π}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Langkah 11.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Langkah 11.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Langkah 11.14

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$4.10911953 \dots$