Kalkulus Contoh

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ dan $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ pada $2 π$ dan pada $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.5

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.6.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Langkah 6.1.6.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Langkah 6.1.6.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Langkah 6.1.6.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Langkah 6.1.6.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Langkah 6.1.6.6

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Langkah 6.1.7

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Langkah 6.2

Tambahkan $- 2 π$ dan $0$ .

$- 2 π - π$

Langkah 6.3

Kurangi $π$ dengan $- 2 π$ .

$- 3 π$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 3 π$

Bentuk Desimal:

$- 9.42477796 \dots$