Kalkulus Contoh

$\int x \sin (\frac{1}{4} x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (\frac{1}{4} x)$ .

$x (- 4 \cos (\frac{1}{4} x)) - \int - 4 \cos (\frac{1}{4} x) d x$

Langkah 2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$x (- 4 \cos (\frac{1}{4} x)) - (- 4 \int \cos (\frac{1}{4} x) d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) - (- 4 \int \cos (\frac{1}{4} x) d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) - (- 4 \int \cos (\frac{x}{4}) d x)$

Langkah 3.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (\frac{x}{4}) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \frac{x}{4}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{4} d x$ sehingga $4 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \frac{x}{4}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{4}$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

Langkah 5.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) \cdot 4 d u$

Langkah 5.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\cos (u)$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int 4 \cos (u) d u$

Langkah 6

Karena $4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 (4 \int \cos (u) d u)$

Langkah 7

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 \int \cos (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 (\sin (u) + C)$

Langkah 9

Tulis kembali $x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 (\sin (u) + C)$ sebagai $- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (u) + C$ .

$- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (u) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (\frac{x}{4}) + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x \cos (\frac{1}{4} x) + 16 \sin (\frac{1}{4} x) + C$