Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt[4]{3 x + 1} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt[4]{3 x + 1}$ .

$x (\frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{4}{15}$ dan ${(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x \frac{4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \int \frac{4}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{4}{15}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{4}{15}$ keluar dari integral.

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - (\frac{4}{15} \int {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 x + 1$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{3} d u$

Langkah 5

Gabungkan $u^{\frac{5}{4}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{3} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{15} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{4}{15}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{3 \cdot 15} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $15$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{4}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{x (4 {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{15} - \frac{4}{45} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ sebagai $\frac{4}{15} x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ .

$\frac{4}{15} x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{4}{15}$ dan $x$ .

$\frac{4 x}{15} {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $\frac{4 x}{15}$ dan ${(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{4}{45} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2.3

Kalikan $\frac{4}{9}$ dengan $\frac{4}{45}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 45} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{9 \cdot 45} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2.5

Kalikan $9$ dengan $45$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} + C$

Langkah 9.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{15}{15} + C$

Langkah 9.2.7

Gabungkan $- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}}$ dan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{15} + \frac{- \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot 15}{15} + C$

Langkah 9.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{405} u^{\frac{9}{4}} \cdot 15}{15} + C$

Langkah 9.2.9

Gabungkan $u^{\frac{9}{4}}$ dan $\frac{16}{405}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405} \cdot 15}{15} + C$

Langkah 9.2.10

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 15 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405}}{15} + C$

Langkah 9.2.11

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{405}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 15 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{405}}{15} + C$

Langkah 9.2.12

Kalikan $16$ dengan $- 15$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 240 u^{\frac{9}{4}}}{405}}{15} + C$

Langkah 9.2.13

Faktorkan $15$ dari $- 240 u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{405}}{15} + C$

Langkah 9.2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.14.1

Faktorkan $15$ dari $405$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{15 (27)}}{15} + C$

Langkah 9.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{15 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{15 \cdot 27}}{15} + C$

Langkah 9.2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.16

Untuk menuliskan $4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{27}{27}$ .

$\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{27}{27} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.17

Gabungkan $4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ dan $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 27}{27} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{4 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 27 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.19

Kalikan $27$ dengan $4$ .

$\frac{\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15} + C$

Langkah 9.2.20

Tulis kembali $\frac{\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}}{15}$ sebagai hasil kali.

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27} \cdot \frac{1}{15} + C$

Langkah 9.2.21

Kalikan $\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27}$ dengan $\frac{1}{15}$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{27 \cdot 15} + C$

Langkah 9.2.22

Kalikan $27$ dengan $15$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{405} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 1$ .

$\frac{108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(3 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{405} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{405} (108 x {(3 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(3 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$