Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt[3]{x + 10} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt[3]{x + 10}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan ${(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = x + 10$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x + 10$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 4.1.4

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{4}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ sebagai $\frac{3}{4} x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\frac{3 x}{4}$ dan ${(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2.3

Kalikan $\frac{3}{7}$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2.5

Kalikan $7$ dengan $4$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 6.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 6.2.7

Gabungkan $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 6.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 6.2.9

Gabungkan $u^{\frac{7}{3}}$ dan $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 6.2.10

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Langkah 6.2.11

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Langkah 6.2.12

Kalikan $9$ dengan $- 4$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Langkah 6.2.13

Faktorkan $4$ dari $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Langkah 6.2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.14.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Langkah 6.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Langkah 6.2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.16

Untuk menuliskan $3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.17

Gabungkan $3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ dan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.19

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Langkah 6.2.20

Tulis kembali $\frac{\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ sebagai hasil kali.

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Langkah 6.2.21

Kalikan $\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Langkah 6.2.22

Kalikan $7$ dengan $4$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 10$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 10)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{28} (21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 10)}^{\frac{7}{3}}) + C$