Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 + \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Langkah 5.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Langkah 5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Langkah 8

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $x$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Langkah 9.3

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - 0))$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 + 0))$

Langkah 10.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Langkah 10.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 11.2

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 11.3

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.64269908 \dots$