Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Langkah 6.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 8$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 7

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $x$ pada $4$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Langkah 10.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $8$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

Langkah 10.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

Langkah 11.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

Langkah 11.3

Tambahkan $\sin (8)$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

Langkah 11.4

Gabungkan $\sin (8)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

Langkah 12.2

Bagilah $0.98935824$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

Langkah 12.3

Kalikan $- 1$ dengan $0.49467912$ .

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

Langkah 12.4

Kurangi $0.49467912$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

Langkah 12.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3.50532087$ .

$\frac{3.50532087}{2}$

Langkah 12.6

Bagilah $3.50532087$ dengan $2$ .

$1.75266043$