Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = π - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = π - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $π - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 2.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Langkah 2.3

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$u_{lower} = π$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 2.5.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Langkah 4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Langkah 5

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Langkah 6

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $\frac{3 π}{4}$ dan pada $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Langkah 7.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Langkah 7.1.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Langkah 7.1.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Langkah 7.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Langkah 7.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 7.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Langkah 7.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \sqrt{2} + 2$

Bentuk Desimal:

$0.58578643 \dots$