Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 9 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 8 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 8 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$u_{lower} = 8$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali ${\sqrt{19}}^{2}$ sebagai $19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{19}$ sebagai $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Langkah 2.5.1.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 8 + 19$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $8$ dan $19$ .

$u_{upper} = 27$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$9 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Gabungkan $\sqrt[3]{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Langkah 5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ pada $27$ dan pada $8$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 7.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 7.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Langkah 7.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Langkah 7.2.11

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Langkah 7.2.12

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Langkah 7.2.13

Kalikan $- 16$ dengan $3$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Langkah 7.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 48$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.1

Faktorkan $4$ dari $- 48$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Langkah 7.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Langkah 7.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Langkah 7.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Langkah 7.2.14.2.4

Bagilah $- 12$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Langkah 7.2.15

Untuk menuliskan $- 12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Langkah 7.2.16

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Langkah 7.2.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.18

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.18.1

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Langkah 7.2.18.2

Kurangi $48$ dengan $243$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Langkah 7.2.19

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{195}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.2.20

Kalikan $9$ dengan $195$ .

$\frac{1755}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.2.21

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1755}{8}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1755}{8}$

Bentuk Desimal:

$219.375$

Bentuk Bilangan Campuran:

$219 \frac{3}{8}$

Langkah 9