Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + \tan (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Langkah 1.3.1.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Langkah 1.5.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Langkah 1.5.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 1.5.1.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $4$ dan pada $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.14384103 \dots$