Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 2.2

Gabungkan ${u_{2}}^{- 5}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3

Pindahkan ${u_{2}}^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan ${u_{2}}^{5}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 5}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ pada $\frac{1}{2}$ dan pada $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.3

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.4

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 16$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.5.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Langkah 7.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Langkah 7.2.7

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Langkah 7.2.8

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Langkah 7.2.9

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Langkah 7.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Langkah 7.2.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.11.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Langkah 7.2.11.2

Tambahkan $- 16$ dan $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Langkah 7.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Langkah 7.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Langkah 7.2.14

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Langkah 7.2.15

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.2.16

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{15}{8}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{15}{8}$

Bentuk Desimal:

$1.875$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{7}{8}$