Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 4.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Langkah 4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Langkah 4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 9.2

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.4

Tulis kembali $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ sebagai hasil kali.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.5

Kalikan $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.6

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.7

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.8

Kalikan $0$ dengan $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.11

Tambahkan $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ dan $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.12

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 9.3.13

Gabungkan $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Langkah 9.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Langkah 9.3.15

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.16

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.17

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.17.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.17.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 9.3.17.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

Langkah 10.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Langkah 10.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Langkah 10.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

Langkah 10.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

Langkah 10.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{π - 2}{8}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π - 2}{8}$

Bentuk Desimal:

$0.14269908 \dots$