Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x^{7} \sqrt{1 - x^{8}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 - x^{8}$ . Kemudian $d u = - 8 x^{7} d x$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 - x^{8}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 - x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{8}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{8}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{8}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 8$ .

$0 - (8 x^{7})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$0 - 8 x^{7}$

Langkah 1.1.4

Kurangi $8 x^{7}$ dengan $0$ .

$- 8 x^{7}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{8}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{8}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 8} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{8} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 7.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.8

Kurangi $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{8} (- \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \frac{2}{3}$

Langkah 7.2.10

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 7.2.11

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3}$

Langkah 7.2.12

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$\frac{2}{24}$

Langkah 7.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.13.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Langkah 7.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Langkah 7.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Langkah 7.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{12}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{12}$

Bentuk Desimal:

$0.08\overline{3}$

Langkah 9