Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{π}{4} y$ . Kemudian $d u = \frac{π}{4} d y$ sehingga $\frac{4}{π} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{π}{4} y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{π}{4} y$ terhadap $y$ adalah $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Langkah 1.5

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{4}{π}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Langkah 2.3

Gabungkan $\tan^{2} (u)$ dan $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Langkah 2.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{4}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{4}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Langkah 4

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (u)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 7

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 8

Gabungkan $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ dan $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $- u + \tan (u)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $0$ dan $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Langkah 10.4

Tambahkan $- \frac{π}{4} + 1$ dan $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Faktorkan $π$ dari $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Langkah 11.4

Kalikan $\frac{4}{π}$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Bentuk Desimal:

$0.27323954 \dots$