Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Langkah 1

Biarkan $u = t^{4} + 7 t$ . Kemudian $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ sehingga $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = t^{4} + 7 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{4} + 7 t$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $7 t$ terhadap $t$ adalah $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $7$ .

$u_{upper} = 8$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $8$ dan pada $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $3 (\frac{3}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.7

Tambahkan $2$ dan $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.8

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 4.2.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Langkah 4.2.12

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Langkah 4.2.13

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Langkah 4.2.14

Tambahkan $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ dan $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Bentuk Desimal:

$15.08494466 \dots$

Langkah 6