Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{6 t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 1

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 t d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 t + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$2 t$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$3 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Langkah 7

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$3 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$3 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Langkah 9.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$3 \ln (\frac{2}{1})$

Langkah 9.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$3 \ln (2)$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$3 \ln (2)$

Bentuk Desimal:

$2.07944154 \dots$

Langkah 11