Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Langkah 1.2

Kalikan $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ dengan $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Langkah 1.3

Faktorkan $2$ dari $32 y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $2$ dari $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Langkah 1.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Langkah 3

Biarkan $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Kemudian $d u = (16 y - 1) d y$ sehingga $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 y^{2} - y + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $8 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Langkah 3.1.5.2

Tambahkan $16 y - 1$ dan $0$ .

$16 y - 1$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Langkah 3.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Langkah 3.5.2

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$u_{upper} = 8$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{3}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Langkah 4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ pada $8$ dan pada $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.6.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Langkah 7.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Langkah 7.2.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.9

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.10

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Langkah 7.2.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.12.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Langkah 7.2.12.2

Kurangi $3$ dengan $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Langkah 7.2.13

Gabungkan $2$ dan $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Langkah 7.2.14

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{18}{2}$

Langkah 7.2.15

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.15.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Langkah 7.2.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.15.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Langkah 7.2.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.2.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{1}$

Langkah 7.2.15.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$9$

Langkah 8