Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{8 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Langkah 1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $e^{- 8 y}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Langkah 3.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Langkah 4

Karena $- \frac{1}{8}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- \frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Langkah 6

Biarkan $u = - 8 y$ . Kemudian $d u = - 8 d y$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - 8 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 8 y$ terhadap $y$ adalah $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- 8$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Langkah 6.5

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Langkah 12.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 8$ dan pada $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.2

Kalikan $e^{- 8}$ dengan $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $e^{- 8}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.4

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.1

Faktorkan $8$ dari $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.8

Tambahkan $- \frac{1}{8 e^{8}}$ dan $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Langkah 12.3.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Langkah 12.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Langkah 12.3.11

Untuk menuliskan $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.12

Gabungkan $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ dan $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.14

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.15

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.16

Gabungkan $e^{8}$ dan $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.17

Pindahkan $- 8$ ke sebelah kiri $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.18

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.18.1

Faktorkan $8$ dari $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.18.2.1

Faktorkan $8$ dari $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 12.3.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 13.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Langkah 13.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Langkah 13.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.2

Kalikan $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.2.1

Gabungkan $\frac{e^{8}}{8}$ dan $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.2.2

Kalikan $e^{8}$ dengan $e^{- 8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.2.3

Sederhanakan $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.3

Gabungkan $\frac{e^{8}}{8}$ dan $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.4.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.7

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.9.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.9.2

Tulis kembali $e^{8}$ sebagai ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.1.9.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3$ dan $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Langkah 14.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Langkah 14.3

Gabungkan.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Langkah 14.4

Kalikan $3 + e^{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Langkah 14.5

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Langkah 14.6

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Bentuk Desimal:

$0.01557782 \dots$

Langkah 16