Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} 8 \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Langkah 2

Biarkan $u = \frac{π t}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{π}{2} d t$ sehingga $\frac{2}{π} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \frac{π t}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Langkah 2.1.2

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{π t}{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{π}{2}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Langkah 2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Langkah 2.3.1.2.4

Bagilah $π \cdot 0$ dengan $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Langkah 2.5

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{π}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{2}{π}$ dengan $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Langkah 3.3

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{2}{π}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Langkah 3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (u)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{2}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{2}{π}$ keluar dari integral.

$8 (\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{2}{π}$ dan $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{16}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Langkah 6

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{16}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 7

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{16}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{16}{π} (1 - \sin (0))$

Langkah 8.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{16}{π} (1 - 0)$

Langkah 8.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{16}{π} (1 + 0)$

Langkah 8.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{16}{π} \cdot 1$

Langkah 8.5

Kalikan $\frac{16}{π}$ dengan $1$ .

$\frac{16}{π}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{16}{π}$

Bentuk Desimal:

$5.09295817 \dots$