Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arcsin (y)$ dan $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Langkah 2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Langkah 3

Biarkan $u = 1 - y^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 y d y$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 1 - y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 3.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 y$

Langkah 3.1.4

Kurangi $2 y$ dengan $0$ .

$- 2 y$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Langkah 3.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ dengan $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 8

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 8.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 8.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 8.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\arcsin (y) y$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Langkah 10.2

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $\arcsin (1)$ dengan $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.3

Kalikan $0$ dengan $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.4

Tambahkan $\arcsin (1)$ dan $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.5

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.6

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.8

Evaluasi eksponennya.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.9

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Langkah 10.3.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Langkah 10.3.12

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Langkah 10.3.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Langkah 10.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.14.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Langkah 10.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Langkah 10.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 10.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Langkah 10.3.14.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Langkah 11

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{2} - 1$

Bentuk Desimal:

$0.57079632 \dots$