Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 π t$ . Kemudian $d u = 3 π d t$ sehingga $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 π t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

Langkah 1.1.2

Karena $3 π$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 π t$ terhadap $t$ adalah $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 π$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $3 π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $0$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

Langkah 1.3.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

Langkah 1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3 π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3 π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Langkah 5

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $3 π$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

Langkah 7.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

Langkah 7.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

Langkah 7.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

Langkah 7.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

Langkah 7.7

Gabungkan $\frac{1}{3 π}$ dan $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3 π}$

Bentuk Desimal:

$0.21220659 \dots$