Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Langkah 1

Biarkan $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Kemudian $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ sehingga $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 y$ terhadap $y$ adalah $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $3 y^{2} - 2 y + 5$ dan $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Langkah 1.5.1.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan $5$ dengan $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $49$ dengan $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $294$ dan $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Langkah 1.5.4

Tambahkan $329$ dan $1$ .

$u_{upper} = 330$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $330$ dan pada $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $330$ adalah $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Langkah 5.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Langkah 5.3

Bagilah $330$ dengan $1$ .

$\ln (330)$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (330)$

Bentuk Desimal:

$5.79909265 \dots$

Langkah 7