Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 2

Karena $0.5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $0.5$ keluar dari integral.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Langkah 5.5

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$u_{upper} = 18$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 6

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 8

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $9$ dan pada $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Langkah 10.2

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $18$ dan pada $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Langkah 10.3

Evaluasi $3 x$ pada $9$ dan pada $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.5

Tambahkan $\frac{81}{2}$ dan $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.6

Gabungkan $0.5$ dan $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.7

Kalikan $0.5$ dengan $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.8

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Langkah 10.4.9

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Langkah 10.4.10

Tambahkan $27$ dan $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Langkah 10.4.11

Untuk menuliskan $27$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 10.4.12

Gabungkan $27$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Langkah 10.4.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Langkah 10.4.14

Kalikan $27$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Langkah 10.4.15

Tambahkan $40.5$ dan $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Langkah 11

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12.3

Tambahkan $- 0.6603167$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12.5

Bagilah $0.33968329$ dengan $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Langkah 12.6

Bagilah $94.5$ dengan $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Langkah 12.7

Tambahkan $0.16984164$ dan $47.25$ .

$47.41984164$