Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Langkah 1

Perluas ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 + \sin (x))}^{2}$ sebagai $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 1.2

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 1.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 1.4

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.5

Susun kembali $\sin (x)$ dan $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.7

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.8

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Langkah 1.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 1.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Langkah 1.13

Tambahkan $\sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 5

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Langkah 11

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 11.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 11.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 11.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 11.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $x$ pada $π$ dan pada $0$ .

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 15.2

Evaluasi $- \cos (x)$ pada $π$ dan pada $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 15.3

Evaluasi $x$ pada $π$ dan pada $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 15.4

Evaluasi $\sin (u)$ pada $2 π$ dan pada $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Langkah 15.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Langkah 15.5.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Langkah 16.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Langkah 16.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Langkah 16.4

Tambahkan $\sin (2 π)$ dan $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Langkah 16.5

Gabungkan $\sin (2 π)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 17.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.7.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Langkah 17.7.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Langkah 17.8

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

Langkah 17.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Langkah 17.10

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

Langkah 17.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $π$ .

$π + 4 + \frac{π}{2}$

Langkah 17.12

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Langkah 17.13

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Langkah 17.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

Langkah 17.15

Tambahkan $π \cdot 2$ dan $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.15.1

Susun kembali $π$ dan $2$ .

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

Langkah 17.15.2

Tambahkan $2 \cdot π$ dan $π$ .

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

Langkah 18

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3 π}{2} + 4$

Bentuk Desimal:

$8.71238898 \dots$