Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{3} 21 x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 1

Karena $21$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $21$ keluar dari integral.

$21 \int_{0}^{3} x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Kemudian $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{3}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Langkah 2.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{3^{3}}$

Langkah 2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = e^{27}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{27}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$21 \int_{1}^{e^{27}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$21 (\frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{27}})$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u_{2}$ .

$21 (\frac{u_{2}}{3}]_{1}^{e^{27}})$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{u_{2}}{3}$ pada $e^{27}$ dan pada $1$ .

$21 (\frac{e^{27}}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$21 \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3$ dari $21$ .

$3 (7) \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 7 \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$7 e^{27} + 21 (- \frac{1}{3})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$7 e^{27} + 21 (\frac{- 1}{3})$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $3$ dari $21$ .

$7 e^{27} + 3 (7) \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$7 e^{27} + 3 \cdot 7 \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$7 e^{27} + 7 \cdot - 1$

Langkah 5.4

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$7 e^{27} - 7$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$7 e^{27} - 7$

Bentuk Desimal:

$3724337684205.58 \dots$

Langkah 7