Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Langkah 1

Biarkan $y = 5 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d y = 5 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ positif.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $25$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $25$ dari $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $25$ dari $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $25 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $25$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $25$ keluar dari integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 9.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Langkah 9.5

Kalikan $2$ dengan $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Langkah 9.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Langkah 9.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $t$ pada $0.92729521$ dan pada $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $1.85459043$ dan pada $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

Langkah 13.3

Tambahkan $0.92729521$ dan $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

Langkah 14.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

Langkah 14.3

Tambahkan $\sin (1.85459043)$ dan $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

Langkah 14.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

Langkah 14.5

Tambahkan $0.92729521$ dan $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

Langkah 14.6

Gabungkan $\frac{25}{2}$ dan $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

Langkah 14.7

Kalikan $25$ dengan $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

Langkah 15

Bagilah $35.18238045$ dengan $2$ .

$17.59119022$

Langkah 16