Kalkulus Contoh

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = π x$ . Kemudian $d u = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = π x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 3.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Langkah 3.3

Kalikan $π$ dengan $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Langkah 3.5

Kalikan $π$ dengan $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 4

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Langkah 8

Kalikan $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Langkah 9.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Langkah 11

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 12$ keluar dari integral.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Langkah 14

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $\sin (u)$ pada $1.57079632$ dan pada $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Langkah 15.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $0.5$ dan pada $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Langkah 15.3

Evaluasi $3 x$ pada $0.5$ dan pada $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.2

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.5

Kalikan $\frac{0.125}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.7

Tambahkan $0.125$ dan $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.8

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.9

Kalikan $- 12$ dengan $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.10.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.11

Kalikan $3$ dengan $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Langkah 15.4.12

Kalikan $- 3$ dengan $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Langkah 15.4.13

Tambahkan $1.5$ dan $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Langkah 15.4.14

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Langkah 16.1.2

Gabungkan $\frac{4}{π}$ dan $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Langkah 16.1.3

Gabungkan $\frac{4}{π}$ dan $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Langkah 16.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.4.1

Evaluasi $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.3

Evaluasi $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.6

Kalikan $- - \frac{4}{π}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Langkah 16.1.4.6.2

Kalikan $\frac{4}{π}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Langkah 16.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Langkah 16.1.6

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Langkah 16.2

Tambahkan $\frac{8}{π}$ dan $2$ .

$4.54647908$