Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ sebagai $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Langkah 2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Langkah 3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $4$ keluar dari eksponen.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Langkah 3.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Langkah 3.5.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 6.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Langkah 6.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 6.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 6.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Langkah 6.2.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$3 (8 - 0)$

Langkah 6.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 (8 + 0)$

Langkah 6.2.6

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$3 \cdot 8$

Langkah 6.2.7

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24$