Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Langkah 2

Biarkan $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Kemudian $d u = 4 \sin (t) d t$ sehingga $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - 4 \cos (t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 4 \cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Langkah 2.1.4

Tambahkan $0$ dan $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Langkah 2.3.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Langkah 2.5.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Langkah 2.5.1.3.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Langkah 3

Gabungkan $u^{\frac{1}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{4}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Langkah 7.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Langkah 8.2

Gabungkan.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Langkah 8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Langkah 8.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Langkah 8.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 8.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Langkah 8.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Langkah 8.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Langkah 8.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Langkah 8.5.4

Bagilah $9^{\frac{5}{4}}$ dengan $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Bentuk Desimal:

$14.58845726 \dots$