Kalkulus Contoh

\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Langkah 2

Karena

7

$7$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

7

$7$ keluar dari integral.

7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Langkah 3

Integral dari

\sin (x)

$\sin (x)$ terhadap

x

$x$ adalah

- \cos (x)

$- \cos (x)$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Langkah 4

Biarkan

u = 7 x

$u = 7 x$ . Kemudian

d u = 7 d x

$d u = 7 d x$ sehingga

\frac{1}{7} d u = d x

$\frac{1}{7} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan

u = 7 x

$u = 7 x$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan

7 x

$7 x$ .

\frac{d}{d x} [7 x]

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 4.1.2

Karena

7

$7$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

7 x

$7 x$ terhadap

x

$x$ adalah

7 \frac{d}{d x} [x]

$7 \frac{d}{d x} [x]$ .

7 \frac{d}{d x} [x]

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

7 \cdot 1

$7 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan

7

$7$ dengan

1

$1$ .

7

$7$

7

$7$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = 7 x

$u = 7 x$ .

u_{lower} = 7 \cdot 0

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Langkah 4.3

Kalikan

7

$7$ dengan

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = 7 x

$u = 7 x$ .

u_{upper} = 7 π

$u_{upper} = 7 π$

Langkah 4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

u_{lower}

$u_{lower}$ dan

u_{upper}

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 7 π

$u_{upper} = 7 π$

Langkah 4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ ,

d u

$d u$ , dan batas integral yang baru.

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

Langkah 5

Gabungkan

\sin (u)

$\sin (u)$ dan

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

Langkah 6

Karena

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

Langkah 7

Integral dari

\sin (u)

$\sin (u)$ terhadap

u

$u$ adalah

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi

- \cos (x)

$- \cos (x)$ pada

π

$π$ dan pada

0

$0$ .

7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Langkah 8.2

Evaluasi

- \cos (u)

$- \cos (u)$ pada

7 π

$7 π$ dan pada

0

$0$ .

7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

Langkah 8.3

Hilangkan tanda kurung.

7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai eksak dari

\cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Langkah 9.2

Nilai eksak dari

\cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari

\cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.6

Kalikan

7

$7$ dengan

2

$2$ .

14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Langkah 10.7

Kurangi rotasi penuh dari

2 π

$2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan

0

$0$ dan lebih kecil dari

2 π

$2 π$ .

14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

Langkah 10.8

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

Langkah 10.9

Nilai eksak dari

\cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Langkah 10.10

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

Langkah 10.11

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

14 + \frac{1}{7} (1 + 1)

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

Langkah 10.12

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} \cdot 2

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

Langkah 10.13

Gabungkan

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ dan

2

$2$ .

14 + \frac{2}{7}

$14 + \frac{2}{7}$

Langkah 10.14

Untuk menuliskan

14

$14$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

\frac{7}{7}

$\frac{7}{7}$ .

14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

Langkah 10.15

Gabungkan

14

$14$ dan

\frac{7}{7}

$\frac{7}{7}$ .

\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

Langkah 10.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

Langkah 10.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.17.1

Kalikan

14

$14$ dengan

7

$7$ .

\frac{98 + 2}{7}

$\frac{98 + 2}{7}$

Langkah 10.17.2

Tambahkan

98

$98$ dan

2

$2$ .

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

Bentuk Desimal:

14.28571428 \dots

$14.28571428 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

14 \frac{2}{7}

$14 \frac{2}{7}$