Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x^{2} - x$ . Kemudian $d u = (6 x - 1) d x$ sehingga $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x^{2} - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$6 x - 1$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Langkah 1.5.2

Kurangi $2$ dengan $12$ .

$u_{upper} = 10$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $10$ dan pada $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $10$ adalah $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Langkah 5.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Langkah 5.3

Bagilah $10$ dengan $2$ .

$\ln (5)$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (5)$

Bentuk Desimal:

$1.60943791 \dots$

Langkah 7