Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Langkah 1

Karena $9$ konstan terhadap $r$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (r)$ dan $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Langkah 3.2

Gabungkan $\ln (r)$ dan $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{r^{4}}{4}$ dengan $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Langkah 3.5

Hapus faktor persekutuan dari $r^{4}$ dan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $r$ dari $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $r$ dari $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Langkah 3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Langkah 3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $r$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $r^{3}$ terhadap $r$ adalah $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Langkah 6.1.2

Gabungkan $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Langkah 6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Evaluasi $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Langkah 6.2.2

Evaluasi $\frac{r^{4}}{4}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan $81$ ke sebelah kiri $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.4

Kalikan $\ln (1)$ dengan $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.8

Kurangi $1$ dengan $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $80$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.9.1

Faktorkan $4$ dari $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Langkah 6.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.9.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Langkah 6.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Langkah 6.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Langkah 6.2.3.9.2.4

Bagilah $20$ dengan $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Langkah 6.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.10.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Langkah 6.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Langkah 6.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Langkah 6.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Langkah 6.2.3.10.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Langkah 6.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Langkah 7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Langkah 7.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Langkah 7.3

Tambahkan $81 \ln (3)$ dan $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Langkah 7.5

Kalikan $9$ dengan $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Langkah 7.6

Kalikan $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Gabungkan $9$ dan $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Langkah 7.6.2

Kalikan $81$ dengan $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Bentuk Desimal:

$155.22208960 \dots$