Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 1.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 1.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 1.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 2.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 2.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.1.8.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 2^{1}$

Langkah 2.5.4

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} 2 \cos (u) d u$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{1}^{2} \cos (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u)]_{1}^{2})$

Langkah 5

Evaluasi $\sin (u)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$2 (\sin (2) - \sin (1))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Evaluasi $\sin (2)$ .

$2 (0.90929742 - \sin (1))$

Langkah 6.1.2

Evaluasi $\sin (1)$ .

$2 (0.90929742 - 1 \cdot 0.84147098)$

Langkah 6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0.84147098$ .

$2 (0.90929742 - 0.84147098)$

Langkah 6.2

Kurangi $0.84147098$ dengan $0.90929742$ .

$2 \cdot 0.06782644$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $0.06782644$ .

$0.13565288$