Kalkulus Contoh

$\int_{- 2}^{2} 3 + \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 2}^{2} 3 d x + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Langkah 2

Terapkan aturan konstanta.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $x = 2 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positif.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.6

Tulis kembali $4 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 4.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 4.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 11.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 11.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 11.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 11.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 11.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $3 x$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 16.2

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 16.3

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$6 + 6 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.3

Tambahkan $6$ dan $6$ .

$12 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$12 + 2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.5

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.4.6.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$12 + 2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$12 + 2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$12 + 2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Langkah 17.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Langkah 17.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Langkah 17.1.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0}{2})$

Langkah 17.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$12 + 2 (π + 0)$

Langkah 18

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$12 + 2 π$

Langkah 19

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$12 + 2 π$

Bentuk Desimal:

$18.28318530 \dots$

Langkah 20