Kalkulus Contoh

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Langkah 1

Karena $15$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $15$ keluar dari integral.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ sebagai ${u_{1}}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ sebagai $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 3.3.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Kemudian $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.7.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.8

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.10

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.11

Faktorkan $2$ dari $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.3.12.4

Bagilah $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $3$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ sebagai akar.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 5

Gabungkan ${u_{2}}^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $15$ .

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ sebagai $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ .

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 10

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

Langkah 10.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$