Kalkulus Contoh

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Langkah 1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $6$ sebagai $4$ ditambah $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sec (x)}^{4 + 2}$ sebagai $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 2.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 2.4

Tulis kembali ${\sec (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (x)$ sebagai $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \tan (x)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \tan (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Langkah 5

Perluas $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(1 + u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.5

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.6

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.7

Terapkan sifat distributif.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.8

Pindahkan $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.9

Susun kembali $u^{4}$ dan $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.10

Susun kembali $u^{2}$ dan $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.11

Susun kembali $u^{4}$ dan $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Langkah 5.12

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.13

Kalikan $u^{4}$ dengan $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.14

Kalikan $u^{4}$ dengan $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.16

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.17

Kalikan $u^{4}$ dengan $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.19

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Langkah 5.21

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Langkah 5.22

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Langkah 5.23

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Langkah 5.24

Tambahkan $u^{6}$ dan $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Langkah 5.25

Susun kembali $2 u^{6}$ dan $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Langkah 5.26

Pindahkan $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{8}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 11.1.2

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 11.1.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$