Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Langkah 1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Langkah 3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Langkah 6.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Langkah 6.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 9.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 9.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 9.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 9.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 9.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Langkah 9.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Langkah 9.3.5

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Langkah 10

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Langkah 11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Langkah 11.3

Bagilah $e$ dengan $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Langkah 12.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 - 1}{2}$

Langkah 12.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$