Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Langkah 1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{x^{3}}{3}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Langkah 3.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Langkah 3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Langkah 3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Langkah 6.1.2

Gabungkan $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Langkah 6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Evaluasi $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Langkah 6.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $\ln (1)$ dengan $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Langkah 6.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Langkah 6.2.3.4

Kalikan $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Langkah 6.2.3.5

Gabungkan.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.6

Terapkan sifat distributif.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.9

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.10.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Langkah 6.2.3.11

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Langkah 6.2.3.12

Untuk menuliskan $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 6.2.3.13

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $9$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.13.1

Kalikan $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 6.2.3.13.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 6.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 6.2.3.15

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7.1.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7.1.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7.1.1.5

Kurangi $e^{3}$ dengan $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Langkah 7.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Langkah 7.1.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Langkah 7.2

Tambahkan $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ dan $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Langkah 7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Langkah 7.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Bentuk Desimal:

$27.44738256 \dots$