Kalkulus Contoh

$\int 1 + \cos^{2} (t) d t$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d t + \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 2

Terapkan aturan konstanta.

$t + C + \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$t + C + \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$t + C + \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 7

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 8

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 10

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 t)$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Langkah 13.2

Terapkan sifat distributif.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Langkah 13.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Langkah 13.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 13.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2 t) + C$