Kalkulus Contoh

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

Langkah 1

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pindahkan $20$ .

$- 8 x - x^{2} + 20$

Langkah 1.1.2

Susun kembali $- 8 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x + 20$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

Langkah 1.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 4$ sebagai $- - 4$ .

$d = - - 4$

Langkah 1.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$d = 4$

Langkah 1.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

Langkah 1.5.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $- 4$ .

$e = 20 - - 16$

Langkah 1.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

$e = 20 + 16$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $20$ dan $16$ .

$e = 36$

Langkah 1.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x + 4)}^{2} + 36$ .

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x + 4$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x + 4$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x + 4$ .

$u_{lower} = - 10 + 4$

Langkah 2.3

Tambahkan $- 10$ dan $4$ .

$u_{lower} = - 6$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x + 4$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Langkah 2.5

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$u_{upper} = 6$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 6 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan $\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.3

Kalikan $36$ dengan $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.2

Susun kembali $- 36 \sin^{2} (t)$ dan $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $36$ dari $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.5

Faktorkan $36$ dari $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.7

Tulis kembali $36 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 4.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 4.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena $36$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $36$ keluar dari integral.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8.2.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 11.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 11.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 11.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 11.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 11.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 16.2

Evaluasi $\sin (u_{2})$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.3.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.3.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Langkah 17.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Langkah 17.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Langkah 17.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Langkah 17.1.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Langkah 17.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$18 (π + 0)$

Langkah 18

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$18 π$

Langkah 19

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$18 π$

Bentuk Desimal:

$56.54866776 \dots$

Langkah 20