Kalkulus Contoh

$t \sqrt{5 - t}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 - t}$ sebagai ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(5 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ dan $g (t) = 5 - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $t$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - t$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 14.2

Gabungkan $\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 14.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 14.3.2

Tulis kembali $- 1 t$ sebagai $- t$ .

$\frac{- t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 14.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 16

Kalikan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 17

Untuk menuliskan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Gabungkan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Kalikan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Pindahkan ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Sederhanakan ${(5 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (5 - t) \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (5 - t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- t + 2 \cdot 5 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{- t + 10 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- t + 10 - 2 t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.2

Kurangi $2 t$ dengan $- t$ .

$\frac{- 3 t + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 t$ .

$\frac{- (3 t) + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.4

Tulis kembali $10$ sebagai $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t) - 1 (- 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.6

Tulis kembali $- (3 t - 10)$ sebagai $- 1 (3 t - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 t - 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$