Kalkulus Contoh

$(\cos (0) + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) (\frac{π}{8})$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$(1 + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $\frac{π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$(1 + \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena kosinus positif pada kuadran pertama.

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.4

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.5

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.2.5.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{3 π}{8})$ adalah $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali $\frac{3 π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena kosinus positif pada kuadran pertama.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.6

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.6.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.8.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) \frac{π}{8}$

Langkah 1.4.4.8.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

Langkah 2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

Langkah 2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{π}{8}$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

Langkah 3

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ dengan $\frac{π}{8}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

Langkah 3.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{π}{8}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{2 \cdot 8}$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{16}$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π + \sqrt{2} π}{16}$

Langkah 6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

Bentuk Desimal:

$1.18346534 \dots$