Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Langkah 3.5.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Langkah 3.5.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Sederhanakan $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Langkah 5.2.3.1.2

Bagilah $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Langkah 5.2.3.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Langkah 5.2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Langkah 5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Langkah 5.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Langkah 5.3.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Langkah 5.3.3.4.4

Bagilah $e^{\frac{x}{2}} - 1$ dengan $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $e^{\frac{x}{2}}$ dan $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Langkah 5.3.5

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $\frac{x}{2}$ keluar dari eksponen.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Langkah 5.3.6

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Langkah 5.3.7

Kalikan $\frac{x}{2}$ dengan $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Langkah 5.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Langkah 5.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$