Kalkulus Contoh

$\int t \sqrt{t^{2} + 1} d t$

Langkah 1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 t d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 t + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$2 t$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$