Kalkulus Contoh

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali $\ln (27)$ sebagai $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Langkah 1.3.2

Perluas $\ln (3^{3})$ dengan memindahkan $3$ ke luar logaritma.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Langkah 1.3.3.2

Bagilah $\ln (3)$ dengan $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali $\frac{\ln (216)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (216)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali $216$ sebagai $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.5.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Langkah 1.5.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Langkah 1.5.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Langkah 1.5.6

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = \ln (6)$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $\ln (6)$ dan pada $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 (6 - 3)$

Langkah 5.2.4

Kurangi $3$ dengan $6$ .

$3 \cdot 3$

Langkah 5.2.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9$

Langkah 6