Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{2}$ positif.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.6

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{9 \sin (t)}{2}$ dan $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.6

Kalikan $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ dengan $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ dengan $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.8

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.9

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Faktorkan $6$ dari $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.2.1

Faktorkan $6$ dari $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Langkah 2.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Langkah 2.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.11

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Langkah 4

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Langkah 5

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$