Kalkulus Contoh

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 3 t - 5$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 3 t - 5$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 5$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Langkah 2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ sehingga $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 7

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Langkah 7.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$