Kalkulus Contoh

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ dan $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ sehingga $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $\frac{u_{1}}{2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Langkah 7.3

Kalikan $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Langkah 8

Biarkan $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Kemudian $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ sehingga $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Langkah 8.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{2}}$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Langkah 9

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u_{3}$ dan $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Langkah 11.2

Kalikan $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ dengan $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Langkah 13

Tulis kembali $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ sebagai $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ .

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 x}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15.2

Kurangi pernyataan $\frac{2 x}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15.3

Kurangi pernyataan $\frac{2 x}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Langkah 15.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Langkah 15.4

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Langkah 15.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Langkah 15.6

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$