Kalkulus Contoh

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

Langkah 1.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Langkah 1.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Langkah 5

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

Langkah 7.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

Langkah 7.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Langkah 7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

Langkah 7.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

Langkah 7.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0$